Integral of cosecant with Integral of reduction

Tadi, saya dapat soal menantang dari teman. Soalnya lumayan susah bagi beberapa anak setingkat SMA karena soal ini merupakan soal pengembangan yang jarang dipakai (karena jarang dipakai jadi tidak pernah dipelajari). Soal seperti ini adalah soal yang membantu siswa agar berpikir kreatif (tidak mengandalkan rumus lagi). Langsung saja, ini dia soalnya.

integral cosecan

$\int \csc^{n} x \mathrm{d}x$

Yang harus kita tahu pertama adalah dasar-dasar turunan atau integral (chain differentation dan integration by paths). Ide yang ada disini adalah membagi persamaan integral agar kita dapat menyelesaikannya per bagian (bisa juga disebut integral dengan reduksi).

Persenjataan kita !!!

$\begin{eqnarray*} \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot x &=& \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\cos x}{\sin x} \\ &=& \frac {\left (\sin x(- \sin x) \right) - \left(\cos x (\cos x)\right)}{\sin^{2} x} \\ &=& - \frac {1}{\sin^{2} x} \\ &=& - \csc^{2} x \\ \mathrm{d} \cot x &=& - \csc^{2} x \mathrm{d}x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc^{n-2} x &=& \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\sin^{n-2} x} \\ &=& \frac{\left(\sin^{n-2} x. 0 \right) - \left(1.(n-2)\cos x \sin^{n-3} x \right)}{\sin^{2n-4} x} \\ &=& - \frac{(n-2) \cos x}{\sin^{n-1} x} \\ &=& - (n-2) \csc^{n-1} x \cos x \\ \mathrm{d} \csc^{n-2} x &=& -(n-2) \csc^{n-1} x \cos x \mathrm{d} x \end{eqnarray*}$

Sekarang kita mulai.
Misalkan

$\sigma_{n} = \int \csc^{n} {x} \mathrm{d}x$

Sekarang tulis ulang menjadi

$\sigma_{n} = \int \csc^{n-2} x \csc^{2} x \mathrm{d}x$

Sekarang substitusikan

$- \csc^{2} x \mathrm{d}x = \mathrm{d} \cot x$

ke

$\sigma_{n} = \int \csc^{n-2} x \csc^{2} x \mathrm{d}x$

menjadi

$\sigma_{n} = - \int \csc^{n-2} x (\mathrm{d} \cot x)$

Sekarang gunakan integral parsial

$\begin{eqnarray*} \int \csc^{n} x \mathrm{d}x &=& - \left (\csc^{n-2} x \cot x - \int \cot x (\mathrm{d} \csc^{n-2} x) \right) \\ &=& - \csc^{n-2} x \cot x - (n-2)\int \cot x \cos x \csc^{n-1} x \mathrm{d} x \\ &=& - \csc^{n-1} x \cos x - (n-2)\int \cos^{2} x \csc^{n} x \mathrm{d} x \\ &=& - \csc^{n-1} x \cos x - (n-2)\int (1 - \sin^{2} x) \csc^{n} x \mathrm{d} x \\ &=& - \csc^{n-1} x \cos x - (n-2)\int \csc^{n} x \mathrm{d} x + (n-2) \int \csc^{n+2} x \mathrm{d}x \\ \sigma_{n} &=& - \csc^{n-1} x \cos x - (n-2)\sigma_{n} + (n-2)\sigma_{n-2} \\ (1 + n - 2)\sigma_{n} &=& - \csc^{n-1} x \cos x + (n-2)\sigma_{n-2} \\ (n-1)\sigma_{n} &=& -\csc^{n-1} x \cos x + (n-2)\sigma_{n-2} \\ \sigma_{n} &=& -\frac{\csc^{n-1} x \cos x}{n-1} + \frac {n-2}{n-1} \sigma_{n-2} \end{eqnarray*}$

Jadi jawabannya adalah :

$\int \csc^{n} x \mathrm{d}x = -\frac{1}{n-1} \csc^{n-1} x \cos x + \frac {n-2}{n-1} \int \csc^{n-2} x \mathrm{d}x$