OSN Matematika - Aljabar #1

Kali ini saya akan membahas soal OSN Matematika dibidang aljabar yang sangat menarik.

Soal ini dikutip dari : http://olimpiade.org/

Beginilah soalnya

$\sum_{1}^{2011} a_{i} = \prod_{1}^{2011} a_{i}$ tentukan $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\;$ Jika $a_{i} > 0$ dan $a_{i}$ bilangan natural

Silahkan dicoba dulu, kalau mau tau jawabannya, silahkan klik tombol "jawab" di bawah ini :)

Jawab:

Number 1

yang ditanya adalah $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\;$
karena $a_{i}>0$ dan $a_{i}$ bilangan asli, maka berlaku $AM \geq GM$
Jadi

$\frac{\sum_{1}^{2011} a_{i}}{2011} \geq \sqrt[2011]{\prod_{1}^{2011} a_{i}}$

Karena $\prod_{1}^{2011} a_{i} = \sum_{1}^{2011} a_{i}$ , maka

$\frac{\sum_{1}^{2011} a_{i}}{2011} \geq \sqrt[2011]{\sum_{1}^{2011} a_{i}}$

Misal $\sum_{1}^{2011} a_{i} = p$

Maka persamaannya menjadi

$\frac{p}{2011} \geq \sqrt[2011]{p}$

$\frac{p^{2011}}{2011^{2011}} \geq p$

$\frac{p^{2011} - 2011^{2011}p}{2011^{2011}} \geq 0$

jadi

$p^{2011} - 2011^{2011}p \geq 0$

$p(p^{2010} - 2011^{2011}) \geq 0$

$p=0$ atau $p = 2011^{\frac{2011}{2010}}$

Buat aja garis bilangan,
Jadi untuk $p < 0$ maka nilainya negatif, untuk $0 \leq p \leq 2011^{\frac{2011}{2010}}$ maka bernilai $\geq 0$

sedangkan saat $p > 2011^{\frac{2011}{2010}}$ bernilai negatif.

Jadi batas nilai $p$ ada di $0 \leq p \leq 2011^{\frac{2011}{2010}}$.

Karena yang ditanya $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )_{max}$ atau $p_{max}$ maka

$p_{max} = 2011^{\frac{2011}{2010}}$

$p_{max} = 2011\sqrt[2010]{2011}$

$\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\ = 2011\sqrt[2010]{2011}$