• Twitter
  • Facebook
  • Google+
  • Instagram
  • Youtube

Tuesday, 30 April 2013

OSN Matematika - Aljabar #1

Kali ini saya akan membahas soal OSN Matematika dibidang aljabar yang sangat menarik.
Soal ini dikutip dari : http://olimpiade.org/


Beginilah soalnya

$\sum_{1}^{2011} a_{i} = \prod_{1}^{2011} a_{i}$ tentukan $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\;$ Jika $a_{i} > 0$ dan $a_{i}$ bilangan natural

Silahkan dicoba dulu, kalau mau tau jawabannya, silahkan klik tombol "jawab" di bawah ini :)

Jawab:
Number 1

yang ditanya adalah $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\;$
karena $a_{i}>0$ dan $a_{i}$ bilangan asli, maka berlaku $AM \geq GM$
Jadi

$\frac{\sum_{1}^{2011} a_{i}}{2011} \geq \sqrt[2011]{\prod_{1}^{2011} a_{i}}$

Karena $\prod_{1}^{2011} a_{i} = \sum_{1}^{2011} a_{i}$ , maka

$\frac{\sum_{1}^{2011} a_{i}}{2011} \geq \sqrt[2011]{\sum_{1}^{2011} a_{i}}$

Misal $\sum_{1}^{2011} a_{i} = p$

Maka persamaannya menjadi

$\frac{p}{2011} \geq \sqrt[2011]{p}$

$\frac{p^{2011}}{2011^{2011}} \geq p $

$\frac{p^{2011} - 2011^{2011}p}{2011^{2011}} \geq 0$

jadi

$p^{2011} - 2011^{2011}p \geq 0$

$p(p^{2010} - 2011^{2011}) \geq 0 $

$p=0$ atau $p = 2011^{\frac{2011}{2010}}$

Buat aja garis bilangan,
Jadi untuk $p < 0$ maka nilainya negatif, untuk $0 \leq p \leq 2011^{\frac{2011}{2010}}$ maka bernilai $\geq 0$

sedangkan saat $p > 2011^{\frac{2011}{2010}}$ bernilai negatif.

Jadi batas nilai $p$ ada di $0 \leq p \leq 2011^{\frac{2011}{2010}}$.

Karena yang ditanya $\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )_{max}$ atau $p_{max}$ maka

$p_{max} = 2011^{\frac{2011}{2010}}$

$p_{max} = 2011\sqrt[2010]{2011}$

$\left ( \sum_{1}^{2011} a_{i} \right )\! _{max}\ = 2011\sqrt[2010]{2011}$



0 komentar:

Post a Comment

Hey, It's my pleasure to know what was in your mind after reading the article above. So, you can comment or give critics to my writing on this comment box below

Contact

Get in touch with me


Adress/Street

12 Street West Victoria 1234 Australia

Phone number

+(12) 3456 789

Website

www.johnsmith.com