Finding Sin 18 without calculator

This post will be in Indonesian, so if you want to read this on your own language, translate this page in Here

How to find without calculator

Mari kita mulai!!
Sebelum mengerjakan soal ini, anda harus sudah memahami tentang sifat dasar dari Trigonometry dan Aljabar karena dua hal ini sangat penting dalam menyelesaikan kasus ini.

yang kita cari

$\sin 18 = \cdots$

sekarang, panggil persamaan ini

$\sin p = \cos (90-p)$

Note : Untuk persamaan trigonometri lainnya, dapat anda temukan di sini. Click Here

hal ini berakibat

$\begin{eqnarray*}\sin 36 &=& \cos (90-36) \\ \sin 36 &=& \cos 54\end{eqnarray*}$

Dari sini, kita misalkan

$18 = a$

Hal ini menjadikan

$\begin{eqnarray*} \sin 2a &=& \cos 3a \\ \sin (a+a) &=& \cos (2a + a) \\ 2 \sin a \cos a &=& \cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a \\ LHS &=& \cos (a+a) \cos a - \sin (a+a) \sin a \\ LHS &=& (\cos^{2}{a} - \sin^{2}{a}) \cos a - 2 \sin a \cos a \sin a \\ LHS &=& (1 - 2 \sin^{2}{a}) \cos a - 2 \sin^{2}{a} \cos a \\ 2 \sin a \cos a &=& (1 - 4 \sin^{2}{a}) \cos a \\ 0 &=& 2 \sin a \cos a - (1 - 4 \sin^{2}{a}) \cos a \end{eqnarray*}$

dari sini, nilai $\cos a$ bisa hilang... kenapa ???

Mengapa ? :

Kita tahu kalau

$\begin{eqnarray*} 0 &=& 2 \sin a \cos a - (1 - 4 \sin^{2}{a}) \cos a \\ 0 &=& \cos a (2 \sin a - (1 - 4 \sin^{2}{a})) \\ 0 &=& \cos a (4 \sin^{2}{a} + 2 \sin a - 1) \end{eqnarray*}$

Dari persamaan tersebut didapat

$\cos a = 0$

atau

$4 \sin^{2}{a} + 2 \sin a - 1 = 0$

$\cos $ hanya akan bernilai $0$ jika sudutnya $0$ derajat
sedangkan disini $a \not= 0$
maka

$\cos a \not= 0$

jadi yang kita pakai adalah

$4 \sin^{2}{a} + 2 \sin a - 1 = 0$

Setelah $\cos a$ hilang, berarti persamaannya akan menjadi

$4 \sin^{2}{a} + 2 \sin a - 1 = 0$

Lalu, pakai rumus aljarbar untuk mencari $\sin a$

$\begin{eqnarray*}(\sin {a})_{1,2} &=& \frac {-2 \pm \sqrt{(-2)^{2}-4(4)(-1)}}{2(4)} \\ LHS &=& \frac {-2 \pm \sqrt{4+16}}{8} \\ LHS &=& \frac {-2 \pm \sqrt{20}}{8} \\ LHS &=& \frac {-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} \\ (\sin {a})_{1,2} &=& \frac {-1}{4} \pm \frac {\sqrt{5}}{8} \end{eqnarray*}$

dari persamaan di atas, dapat disimpulkan bahwa

$\sin {a} = \frac {-1}{4} + \frac {\sqrt{5}}{4}$

Mengapa ? :

$a$ adalah sudut di kuadran I
Semua nilai $\sin$ yang terletak di kuadran I bernilai positif
Jadi $\sin a$ haruslah bernilai positif

$\begin{eqnarray*}(\sin {a})_{1,2} &=& \frac {-1}{4} \pm \frac {\sqrt{5}}{4} \\ \sin {a}_{1} &=& \frac {-1}{4} + \frac {\sqrt{5}}{4} \\ \\ \\ atau \\ \\ \sin {a}_{2} &=& \frac {-1}{4} - \frac {\sqrt{5}}{4} \end{eqnarray*}$

Dapat dilihat secara langsung bahwa

$\sin {a}_{1} > 0$

sedangkan

$\sin {a}_{2} < 0$

Jadi nilai dari $\sin a$ yang kita pakai adalah :

$\sin {a}_{1} = \frac {-1}{4} + \frac {\sqrt{5}}{4}$

Setelah mencari melalui trigonometri dan aljabar, kita dapatkan hasil pencarian kita sebagai berikut

$\begin{eqnarray*}\sin {18} &=& \frac {-1}{4} + \frac {\sqrt{5}}{4} \\ \sin {\frac{\pi}{10}} &=& \frac {-1}{4} + \frac {\sqrt{5}}{4}\end{eqnarray*}$

Yeah Anda Berhasil!!!